El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un
método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de
un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas
que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que
este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número
total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden
indicado, es igual a n1 x n2.
¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un
conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un
premio?
Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10
personas que pueden recibir el primer
premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9
personas para recibir el segundo, y
posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De
ahí que el número de maneras
distintas de repartir los tres premios.
n
10 x 9 x 8 = 720
¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos
letras seguidas de tres cifras? No se
admiten repeticiones.
26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000
n un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2)...3 x
2 x 1 se llama factorial de n.
El símbolo ! se lee factorial y es el producto resultante de
todos los enteros positivos de 1 a n; es decir, sea
n
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Por definición 0! = 1
Si el número de
posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar
y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis
posibles resultados.
Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados
tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería
tedioso listar y contar todas las posibilidades. Las posibilidades serían, 5
niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc.
Para facilitar el
conteo examinaremos tres técnicas:
* La técnica de la multiplicación
* La tecnica aditiva
* La tecnica de la suma o Adicion
* La técnica de la permutación
* La técnica de la combinación.
PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en
donde el primer paso de la actividad a realizar
puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2
maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta
actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica
que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras
otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2
puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep
el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras
distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a
producto.
N1 x N2 x
..........x Nr maneras o formas
Ejemplo:
Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De
cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a
C2.Respuesta: (3)(4)=12
PRINCIPIO ADITIVO.
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene
formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas
puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede
realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede
ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser
llevada a cabo de,
M + N + .........+ W maneras o
formas
Ejemplos:
1) Una persona
desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede
seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude
a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos
tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser
automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se
presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores
diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca
GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores
diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de
comprar una lavadora?
Solución:
M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la
marca Easy
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la
marca General Electric
M = 2 x 4 x 2 =
16 maneras
N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12 +
2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora
PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCION
Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una
segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden
efectuarse de:
m+n maneras.
Ejemplo:
Una pareja que se tiene que casar, junta dinero para el
enganche de su casa, en el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen un
modelo económico ó un condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen un modelo
económico como modelos un residencial, un californiano y un provenzal. ¿Cuántas
alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja?
PRESA
PLAYAS
Económico
Residencial
Condominio
Californiano
Provenzal
m=2 n=3
2+3= 5
maneras
EJERCICIOS RESUELTOS:
2.- ¿Cuántos números de cinco cifras no tienen cincos ni treses?
Solución:
Tenemos que llenar cinco espacios _ _ _ _ _. En el primer espacio, de los diez dígitos, no podemos usar el 3 ni el cinco, pero tampoco podemos usar un cero ya que si ponemos cero, el numero tendría menos de cinco cifras. Entonces tenemos 7 opciones para el primer espacio. En las restantes 4 posiciones podemos poner cualquier digito excepto el 3 y el 5, es decir 8 opciones en cada caso. El principio de la multiplicación nos da un total de 7 × 8^4 = 28672.
3.- Si hay que escoger un número de cuatro cifras que tenga todas sus cifras pares excepto cuatros y ochos, o todas sus cifras impares, excepto cincos y sietes, ¿De cuantas formas puede hacerse?
Solución:
Hay dos tipos de números que queremos contar: los que tienen dígitos pares y los que tienen dígitos impares. El principio de la adición dice que el total lo obtenemos sumando el total de cada caso.
Cuando todos son pares, hay cuatro posiciones _ _ _ _. En la primera posición tenemos que poner un número par que no sea 4 ni 8, pero tampoco cero (porque de lo contrario, el número ya no tendría cuatro cifras). Entonces tenemos dos opciones (2,6). Para las demás posiciones tenemos 3 opciones siempre (2,6,0). El total es 2 ×3^3 = 54.
Cuando todos son impares, como no podemos poner cincos ni sietes, tenemos 3 opciones para cada espacio: 1,3,9. En total hay 3^4 = 81 números de esta forma.
Entonces, el total pedido (usando el principio de la suma) es 54 + 81 = 135.
4.- ¿Cuántos números de seis cifras hay que no tienen sus dígitos repetidos ?
Solución:
Tenemos seis espacios a llenar _ _ _ _ _ _ . En el primero, tenemos 9 opciones, porque no podemos poner al cero. En la segunda posición también tenemos 9 opciones, porque, aunque ya no podemos usar el numero que escogimos antes, ahora si podemos usar el cero. Para la tercera posición tenemos 8 opciones (de los 10 dígitos, ya usamos dos), para la cuarta posición hay 7 opciones, para la quinta 6 y para la ultima 5. En total hay 9 ×9×8×7×6×5= 136080 números de seis cifras sin dígitos repetidos.
Aunque los principios básicos de conteo pueden usarse en la gran mayoría de los casos, usualmente hay formulas(basadas en esos principios) que nos permiten hacer los cálculos de manera más rápida.
5.- Considere el experimento consistente en lanzar dos dados y observar las caras que quedan hacia arriba. El primer dado puede caer de 6 maneras diferentes (1, 2, 3, 4, 5, 6) y el segundo dado también puede caer de 6 maneras diferentes. Entonces, el número de maneras en que pueden caer ambos dados simultáneamente es:
6x6 = 36.
6.- Considere el experimento consistente en observar el resultado de la perforación de cuatro pozos exploratorios. El resultado del primer pozo puede presentarse de 2 maneras (0: seco, 1: productor), el resultado del segundo, tercero y cuarto pozos también puede presentarse de 2 maneras. Entonces, el número de maneras en que puede observarse el conjunto, indicando el resultado de los cuatro pozos simultáneamente es:
2x2x2x2 = 16.
7.- Las placas para automóvil en el D. F. están formadas por 6 caracteres: los tres primeros son dígitos y los tres últimos son letras del alfabeto. ¿Cuántas placas diferentes se pueden hacer?
Primero vamos a analizar los dígitos: el primero se puede escoger de 10 maneras diferentes, el segundo de 10 maneras y el tercero de 10 maneras; así que, el número de maneras en que se puede formar la primera parte de la placa es: 10x10x10 = 1000. Ahora bien, si se considera que el arreglo 1000 no es válido, entonces habrá que restarle 1 al valor obtenido, con lo que quedan 999 maneras en que se puede formar la primera parte de la placa.
La segunda parte de la placa se forma con tres letras: la primera se puede escoger de 26 maneras diferentes (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z), la segunda de 26 maneras y la tercera de 26 maneras; así que el número de maneras en que se puede formar la segunda parte de la placa es: 26x26x26 = 17,576.
Finalmente, el número total de placas diferentes que se pueden formar es:
999x17,576 = 17’558,424
8.- ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con cinco consonantes y tres vocales de modo que cada palabra comience y termine en consonante?
5x3x4 = 60
EJERCICIOS RESUELTOS:
1.- ¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que
cada persona no puede obtener más de un premio?
Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer
premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y
posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras
distintas de repartir los tres premios.
n1 x n2 x n3
10 x 9 x 8 = 720
2.- ¿Cuántos números de cinco cifras no tienen cincos ni treses?
Solución:
Tenemos que llenar cinco espacios _ _ _ _ _. En el primer espacio, de los diez dígitos, no podemos usar el 3 ni el cinco, pero tampoco podemos usar un cero ya que si ponemos cero, el numero tendría menos de cinco cifras. Entonces tenemos 7 opciones para el primer espacio. En las restantes 4 posiciones podemos poner cualquier digito excepto el 3 y el 5, es decir 8 opciones en cada caso. El principio de la multiplicación nos da un total de 7 × 8^4 = 28672.
3.- Si hay que escoger un número de cuatro cifras que tenga todas sus cifras pares excepto cuatros y ochos, o todas sus cifras impares, excepto cincos y sietes, ¿De cuantas formas puede hacerse?
Solución:
Hay dos tipos de números que queremos contar: los que tienen dígitos pares y los que tienen dígitos impares. El principio de la adición dice que el total lo obtenemos sumando el total de cada caso.
Cuando todos son pares, hay cuatro posiciones _ _ _ _. En la primera posición tenemos que poner un número par que no sea 4 ni 8, pero tampoco cero (porque de lo contrario, el número ya no tendría cuatro cifras). Entonces tenemos dos opciones (2,6). Para las demás posiciones tenemos 3 opciones siempre (2,6,0). El total es 2 ×3^3 = 54.
Cuando todos son impares, como no podemos poner cincos ni sietes, tenemos 3 opciones para cada espacio: 1,3,9. En total hay 3^4 = 81 números de esta forma.
Entonces, el total pedido (usando el principio de la suma) es 54 + 81 = 135.
4.- ¿Cuántos números de seis cifras hay que no tienen sus dígitos repetidos ?
Solución:
Tenemos seis espacios a llenar _ _ _ _ _ _ . En el primero, tenemos 9 opciones, porque no podemos poner al cero. En la segunda posición también tenemos 9 opciones, porque, aunque ya no podemos usar el numero que escogimos antes, ahora si podemos usar el cero. Para la tercera posición tenemos 8 opciones (de los 10 dígitos, ya usamos dos), para la cuarta posición hay 7 opciones, para la quinta 6 y para la ultima 5. En total hay 9 ×9×8×7×6×5= 136080 números de seis cifras sin dígitos repetidos.
Aunque los principios básicos de conteo pueden usarse en la gran mayoría de los casos, usualmente hay formulas(basadas en esos principios) que nos permiten hacer los cálculos de manera más rápida.
5.- Considere el experimento consistente en lanzar dos dados y observar las caras que quedan hacia arriba. El primer dado puede caer de 6 maneras diferentes (1, 2, 3, 4, 5, 6) y el segundo dado también puede caer de 6 maneras diferentes. Entonces, el número de maneras en que pueden caer ambos dados simultáneamente es:
6x6 = 36.
6.- Considere el experimento consistente en observar el resultado de la perforación de cuatro pozos exploratorios. El resultado del primer pozo puede presentarse de 2 maneras (0: seco, 1: productor), el resultado del segundo, tercero y cuarto pozos también puede presentarse de 2 maneras. Entonces, el número de maneras en que puede observarse el conjunto, indicando el resultado de los cuatro pozos simultáneamente es:
2x2x2x2 = 16.
7.- Las placas para automóvil en el D. F. están formadas por 6 caracteres: los tres primeros son dígitos y los tres últimos son letras del alfabeto. ¿Cuántas placas diferentes se pueden hacer?
Primero vamos a analizar los dígitos: el primero se puede escoger de 10 maneras diferentes, el segundo de 10 maneras y el tercero de 10 maneras; así que, el número de maneras en que se puede formar la primera parte de la placa es: 10x10x10 = 1000. Ahora bien, si se considera que el arreglo 1000 no es válido, entonces habrá que restarle 1 al valor obtenido, con lo que quedan 999 maneras en que se puede formar la primera parte de la placa.
La segunda parte de la placa se forma con tres letras: la primera se puede escoger de 26 maneras diferentes (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z), la segunda de 26 maneras y la tercera de 26 maneras; así que el número de maneras en que se puede formar la segunda parte de la placa es: 26x26x26 = 17,576.
Finalmente, el número total de placas diferentes que se pueden formar es:
999x17,576 = 17’558,424
8.- ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con cinco consonantes y tres vocales de modo que cada palabra comience y termine en consonante?
5x3x4 = 60
9.- Determine el número de enteros de seis dígitos (que no comiencen con cero) en los que ningún dígito se pueda repetir.
9.9.8.7.6.5 = 136.080
10.- Ana y María vieron a dos hombres alejarse en automóvil frente a una joyería, justo antes de que sonara una alarma contra robos. Cuando fueron interrogadas por la policía, las dos jóvenes dieron la siguiente información acerca de la placa (que constaba de dos letras seguidas de cuatro dígitos). María estaba segura de que la segunda letra de la placa era una O o una Q, y que el último dígito era un 3 o un 8. Ana dijo que la primera letra de la placa era una C o una G y que el primer dígito era definitivamente un 7.
¿Cuántas placas diferentes tendrá que verificar la policía?
2 x 2 x 1 x 10 x 10 x 2 = 800 placas
PRINCIPIO DE PERMUTACION:
A diferencia de la formula de la multiplicación, se la
utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo
grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos
seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los
arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la formula que se
utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es:
FÓRMULA: n P r = n! (n - r)
Ejemplo: ¿Como se puede designar los cuatro primeros lugares
de un concurso, donde existen 15 participantes?
Aplicando la formula
de la permutación tenemos:
n P r = n! (n - r)! =
15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 =
32760
Donde: n= número total de objetos r= número de objetos
seleccionados!= factorial, producto de los números naturales entre 1 y n.
NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas
cifras en numerador y denominador. !
1-. Se quiere conocer el conjunto de todas las disposiciones posibles de tres personas colocadas en
hilera para tomar una fotografía.
2.- Cinco personas desean nombrar un Comité Directivo compuesto de un presidente, un
vicepresidente, un secretario, un tesorero y un vocal. ¿Cuántas maneras hay de constituir el
comité?
3.- Hay seis banderas de distintos colores. ¿Cuántas señales diferentes se pueden enviar usando las seis
banderas al mismo tiempo?
4.- Si de un estante tomamos 2 de 3 libros ¿Cuántas permutaciones pueden realizarse?
EJERCICIOS RESUELTOS:
hilera para tomar una fotografía.
3P3 = 3! = 6
2.- Cinco personas desean nombrar un Comité Directivo compuesto de un presidente, un
vicepresidente, un secretario, un tesorero y un vocal. ¿Cuántas maneras hay de constituir el
comité?
5P5 = 5! = 120
3.- Hay seis banderas de distintos colores. ¿Cuántas señales diferentes se pueden enviar usando las seis
banderas al mismo tiempo?
6P6 = 6! = 720
5.- ¿Cuántas palabras diferentes de cuatro letras pueden formarse con las letras LULU?
6.- ¿De cuántas maneras podemos ordenar 5 llaves en un llavero?
8.- ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
5Pc = (5 - 1)! = 4! = 24
7.- En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.
7.- En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.
8.- ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
No importa el orden.
No entran todos los elementos.
No se repiten los elementos.
9.- A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
10.- En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?No entran todos los elementos. Sólo elije 4..
No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.
Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.
11.- ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
12.- ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices?
Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vértices.
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
Son
, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.
13.- Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:
1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.
3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.
14.- Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?
15.- ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar las letras de la palabra JUAN? b) ¿Cuántas ordenaciones distintas empezarán por vocal?
a) Tenemos 4 elementos y nos piden de cuántas formas podemos ordenarlos. No hay repetición de elementos, el orden si importa y en la ordenación están todos los elementos. Se trata, por lo tanto, de permutaciones de 4 elementos (o dicho de otro modo: variaciones sin repetición de 4 elementos tomados de 4 en 4):
P 4! 4 3 2 1 24 4 = = ⋅ ⋅ ⋅ =
b) Para U _ _ _ , las ordenaciones son P 3! 6 3 = = y para A _ _ _ las ordenaciones son P 3! 6 3 = = . Entonces las ordenaciones que empiezan por vocal son las suma de las dos, es decir, 12.
16.- ¿Cuántos números distintos se pueden formar con los dígitos 3224531?
Solución:
El orden influye, luego no son combinaciones. En los grupos que se
forman están todos los elementos. Así que tenemos permutaciones. Y
como hay dígitos repetidos, las permutaciones son con repetición.
Entonces:
2,2,1,1,1 P 7 = 1260
17.- ¿Cuántas permutaciones existen para las ocho letras a,b,c,d,e,f,g,h?
P8 = 8! = 40.320.
18.- ¿De cuántas formas es posible ordenar los símbolos a,b,c,d,e,e,e,e,e de modo que ninguna e quede junto a otra?
e _ e _ e _ e _ e
P4 = 4! = 24
19.- ¿De cuántas maneras se pueden colocar las letras de VISITING?
Si consideramos que las tres I son distintas, podemos formar P8 palabras. Así, la permutación VI1SI2TI3NG sería distinta de VI2SI1TI3NG. Pero esto no es lo que queremos, en realidad no hay diferencia entre esas dos permutaciones. Como las tres I pueden ubicarse de P3 maneras, cada palabra se está repitiendo P3 veces.
Por lo tanto hay P8/P3 = 8!/3! = 6.720 disposiciones diferentes.
P 15 = 15! = 1, 307, 674, 368, 000 maneras.
No entran todos los elementos.
No se repiten los elementos.
9.- A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
10.- En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?No entran todos los elementos. Sólo elije 4..
No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.
Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.
11.- ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
12.- ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices?
Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vértices.
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
Son
, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.13.- Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:
1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.
3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.
14.- Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?
15.- ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar las letras de la palabra JUAN? b) ¿Cuántas ordenaciones distintas empezarán por vocal?
a) Tenemos 4 elementos y nos piden de cuántas formas podemos ordenarlos. No hay repetición de elementos, el orden si importa y en la ordenación están todos los elementos. Se trata, por lo tanto, de permutaciones de 4 elementos (o dicho de otro modo: variaciones sin repetición de 4 elementos tomados de 4 en 4):
P 4! 4 3 2 1 24 4 = = ⋅ ⋅ ⋅ =
b) Para U _ _ _ , las ordenaciones son P 3! 6 3 = = y para A _ _ _ las ordenaciones son P 3! 6 3 = = . Entonces las ordenaciones que empiezan por vocal son las suma de las dos, es decir, 12.
16.- ¿Cuántos números distintos se pueden formar con los dígitos 3224531?
Solución:
El orden influye, luego no son combinaciones. En los grupos que se
forman están todos los elementos. Así que tenemos permutaciones. Y
como hay dígitos repetidos, las permutaciones son con repetición.
Entonces:
2,2,1,1,1 P 7 = 1260
17.- ¿Cuántas permutaciones existen para las ocho letras a,b,c,d,e,f,g,h?
P8 = 8! = 40.320.
18.- ¿De cuántas formas es posible ordenar los símbolos a,b,c,d,e,e,e,e,e de modo que ninguna e quede junto a otra?
e _ e _ e _ e _ e
P4 = 4! = 24
19.- ¿De cuántas maneras se pueden colocar las letras de VISITING?
Si consideramos que las tres I son distintas, podemos formar P8 palabras. Así, la permutación VI1SI2TI3NG sería distinta de VI2SI1TI3NG. Pero esto no es lo que queremos, en realidad no hay diferencia entre esas dos permutaciones. Como las tres I pueden ubicarse de P3 maneras, cada palabra se está repitiendo P3 veces.
Por lo tanto hay P8/P3 = 8!/3! = 6.720 disposiciones diferentes.
20.- Si en el librero de tu casa hay 15 diferentes libros, 6 de los cuales son de matemáticas, 4 son de química y 5 son de física, ¿De cuántas maneras diferentes puedes acomodarlos en el librero?
P 15 = 15! = 1, 307, 674, 368, 000 maneras.
PRINCIPIO DE COMBINACION:
En una permutación, el orden de los objetos de cada posible
resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno
de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar
un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres
(A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa
el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo
no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán
combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:
Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB
Combinaciones: AB, AC, BC
Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r
objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.
La fórmula de combinaciones es:
n C r = n!
r! (n – r)!
Ejemplo: En una compañía se quiere establecer un código de
colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere
marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que
cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este
código de colores para identificar las 42 partes del producto?
Usando la fórmula de combinaciones:
n C r = n! = 7! = 7! = 35
r! (n – r )! 3! (7 – 3)!
3! 4!
El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para
identificar las 42 partes del producto.
1.- Si de un estante tomamos 2 de 3 libros, ¿Cuántas combinaciones pueden realizarse?
Por lo tanto, el resultado se reduce a 3 posibles formas ya que en una combinación el orden de los
elementos no es importante.
2.- En una prueba de atletismo en la que participan 8 atletas se pueden clasificar sólo 3 para la final. ¿Cuantos grupos distintos de finalistas se pueden formar?
Solución:
El orden no importa. Luego son combinaciones. Los elementos no se pueden repetir. Entonces tenemos combinaciones sin repetición, de 8 elementos tomados de 3 en tres:
3.- Un estudiante que realiza un examen debe responder 7 de las 10 preguntas. El orden no importa. ¿De cuántas formas puede responder el examen?
Existen
10 10! 10.9.8
C7 = --- = ------ = 120
7!3! 3.2.1
combinaciones posibles de preguntas que puede contestar.
4.- Juan quiere dar una fiesta para algunos de sus amigos. Debido al tamaño de su casa, sólo puede invitar a 11 de sus 20 amigos. ¿De cuántas formas puede seleccionar a los invitados?
Hay
20 20!
C11 = ---- = 167.960
11!9!
formas de elegir a los 11 amigos.
5.- En una reunión de 6 personas, ¿cuántos saludos de mano pueden intercambiarse, si entre cada 2 personas, se dan la mano una sola vez?
6 6! 6.5
C2 = ---- = --- = 15
2!4! 2
6.- Una persona que sale de vacaciones desea llevarse 4 libros para leer: dispone de 4 novelas policiales y 6 libros de cuentos cortos. ¿De cuántas formas puede hacer la elección si quiere llevar al menos una novela?
6
N C C C --> 4C3 = 80
4 6
N N C C --> C2C2 = 90
4
N N N C --> C36 = 24
N N N N --> 1
80 + 90 + 24 + 1 = 195
¿Cuántos bytes contienen
exactamente dos unos?
8 8!
C2 = --- = 28
2!6!
Ejemplo: 1 0 0 1 0 0 0 0
exactamente cuatro unos?
8 8!
C4 = --- = 70
4!4!
Ejemplo: 0 1 0 1 0 1 1 0
exactamente seis unos?
8 8!
C2 = --- = 28
6!2!
Ejemplo: 1 1 1 0 1 1 0 1
al menos seis unos?
8
28 + C7 + 1 = 28 + 8 + 1 = 37
(Sumamos los bytes con 6 unos, los
bytes con 7 unos y el byte con 8 unos)
Ejemplo: 1 1 1 0 1 1 1 1
7.- ¿De cuántas formas es posible distribuir 12 libros diferentes entre cuatro niños de modo que cada niño reciba tres libros.
12 9 6 3
C3.C3.C3.C3 = 220.84.20.1 = 369.600
los dos niños mayores reciban cuatro libros cada uno y los dos menores reciban dos libros cada uno.
12 8 4 12!8!4!
C4.C4.C2 = ------------ = 207.900
8!4!4!4!2!2!
8.- Un comité de 12 personas será elegido entre 10 hombres y 10 mujeres. ¿De cuántas formas se puede hacer la selección si no hay restricciones?
20 20 !
C12 = ----- = 125.970
12!8!
9.- Resolver el siguiente sistema.
20 20
Ca + Ca-1 = 21
n n-1 n-2 12
Ca+1 - Ca - Ca = ------
Pa + 1
20 20
Ca + Ca-1 = 21
--------- --> Stieffel
21 m
Ca = 21 => a = 1 pues C1 = m
n n-1 n-2 12
C2 - C1 - C1 = --- = 6
--------- 2 --> Stieffel
n-1 n-2
C2 - C1 = 6
----------- --> Stieffel
n-2
C2 = 6
(n-2)(n-3) = 12
n2 - 5n + 6 = 12
n2 - 5n - 6 = 0
_______ 6
5 + \|25 + 24 5 + 7 /
n = --------------- = ------- =
2 2 \
-1
n = 6
10.- Resolver el siguiente sistema:
x x+1
4Cy = Cy+1
3x 3x
C3y+1 = C12y-1
x x+1
4Cy = Cy+1
4x! (x+1)!
------- = ---------------
y!(x-y)! (y+1)!(x+1-y-1)!
4x!(y+1)!(x-y)! = (x+1)!y!(x-y)!
4(y+1) = (x+1)
x = 4y + 4 - 1
x = 4y + 3 (1)
3x 3x
C3y+1 = C12y-1
=> Hay dos posibilidades:
3y + 1 = 12y - 1 => 9y = 2 => y = 9/2
No, pues y debe ser entero
3y + 1 + 12y - 1 = 3x => 15y = 3x => 5y = x (2)
De 1) y 2) 5y = 4y + 3
y = 3
x = 15
11.- ¿Cuántas manos diferentes le pueden tocar a un jugador de poker?
Una mano de poker es de 5 cartas y la baraja inglesa consta de 52; por ende, en cada mano se obtiene, de una en una, la muestra de 5 cartas distintas; para efectos de conteo, a esta manera de tomar la muestra se le denomina muestreo sin reemplazamiento. La primera carta puede ser cualquiera de la 52, la segunda puede ser cualquiera de las 51 restantes,..., y la quinta, que puede ser cualquiera de las 48 que quedan. El orden en el que salen las carta no importa y evidentemente no se permite la repetición; por lo tanto, son combinaciones de 52 objetos tomados de 5 en 5.
Es necesario considerar la conformación de dos equipos: El primer equipo se puede formar de 6C14 maneras, pues se pueden elegir 6 jugadoras diferentes de entre 14 disponibles; el segundo equipo se puede formar de 6C8 maneras, pues ahora se eligen 6 jugadoras de entre las 8 mujeres que quedan disponibles.
El producto de estas dos combinaciones, invocando el principio fundamental del conteo, proporciona el número de partidos que pueden realizarse, pero cada uno de ellos está considerado dos veces, pues una misma sexteta puede pertenecer a ambas combinaciones; el problema se resuelve dividiendo el producto de las dos combinaciones, entre las permutaciones de los 2 equipos:
13.- A una reunión acuden 10 personas. Si se saludan con apretones de manos entre ellos, ¿Cuántos apretones se producen?
Resolución:
Cada apretón es una combinación de 2 en 2 de las 10 personas.
14.- Uniendo 3 vértices de un hexágono regular, ¿Cuántos triángulos diferentes se obtienen?
Resolución:
Cada triangulo se obtiene combinando 3 vértices de los 6 que tiene el hexágono.
15.- En una prueba de atletismo en la que participan 8 atletas se pueden clasificar sólo 3 para la final. ¿Cuantos grupos distintos de finalistas se pueden formar?
Solución:
El orden no importa. Luego son combinaciones. Los elementos no se pueden repetir. Entonces tenemos combinaciones sin repetición, de 8 elementos tomados de 3 en tres:
17.- Calcula el número de boletos de Lotería Primitiva que es necesario rellenar para que te toque el primer premio con toda probabilidad (Hay que acertar 6 números de un total de 49).
Solución:
Hay que calcular el número de grupos diferentes de 6 números de entre 49 diferentes. En otras palabras, tenemos que calcular las combinaciones de 49 elementos tomados de 6:
EJERCICIOS RESUELTOS:
1.- Si de un estante tomamos 2 de 3 libros, ¿Cuántas combinaciones pueden realizarse?
Por lo tanto, el resultado se reduce a 3 posibles formas ya que en una combinación el orden de los
elementos no es importante.
2.- En una prueba de atletismo en la que participan 8 atletas se pueden clasificar sólo 3 para la final. ¿Cuantos grupos distintos de finalistas se pueden formar?
Solución:
El orden no importa. Luego son combinaciones. Los elementos no se pueden repetir. Entonces tenemos combinaciones sin repetición, de 8 elementos tomados de 3 en tres:
3.- Un estudiante que realiza un examen debe responder 7 de las 10 preguntas. El orden no importa. ¿De cuántas formas puede responder el examen?
Existen
10 10! 10.9.8
C7 = --- = ------ = 120
7!3! 3.2.1
combinaciones posibles de preguntas que puede contestar.
4.- Juan quiere dar una fiesta para algunos de sus amigos. Debido al tamaño de su casa, sólo puede invitar a 11 de sus 20 amigos. ¿De cuántas formas puede seleccionar a los invitados?
Hay
20 20!
C11 = ---- = 167.960
11!9!
formas de elegir a los 11 amigos.
5.- En una reunión de 6 personas, ¿cuántos saludos de mano pueden intercambiarse, si entre cada 2 personas, se dan la mano una sola vez?
6 6! 6.5
C2 = ---- = --- = 15
2!4! 2
6.- Una persona que sale de vacaciones desea llevarse 4 libros para leer: dispone de 4 novelas policiales y 6 libros de cuentos cortos. ¿De cuántas formas puede hacer la elección si quiere llevar al menos una novela?
6
N C C C --> 4C3 = 80
4 6
N N C C --> C2C2 = 90
4
N N N C --> C36 = 24
N N N N --> 1
80 + 90 + 24 + 1 = 195
¿Cuántos bytes contienen
exactamente dos unos?
8 8!
C2 = --- = 28
2!6!
Ejemplo: 1 0 0 1 0 0 0 0
exactamente cuatro unos?
8 8!
C4 = --- = 70
4!4!
Ejemplo: 0 1 0 1 0 1 1 0
exactamente seis unos?
8 8!
C2 = --- = 28
6!2!
Ejemplo: 1 1 1 0 1 1 0 1
al menos seis unos?
8
28 + C7 + 1 = 28 + 8 + 1 = 37
(Sumamos los bytes con 6 unos, los
bytes con 7 unos y el byte con 8 unos)
Ejemplo: 1 1 1 0 1 1 1 1
7.- ¿De cuántas formas es posible distribuir 12 libros diferentes entre cuatro niños de modo que cada niño reciba tres libros.
12 9 6 3
C3.C3.C3.C3 = 220.84.20.1 = 369.600
los dos niños mayores reciban cuatro libros cada uno y los dos menores reciban dos libros cada uno.
12 8 4 12!8!4!
C4.C4.C2 = ------------ = 207.900
8!4!4!4!2!2!
8.- Un comité de 12 personas será elegido entre 10 hombres y 10 mujeres. ¿De cuántas formas se puede hacer la selección si no hay restricciones?
20 20 !
C12 = ----- = 125.970
12!8!
9.- Resolver el siguiente sistema.
20 20
Ca + Ca-1 = 21
n n-1 n-2 12
Ca+1 - Ca - Ca = ------
Pa + 1
20 20
Ca + Ca-1 = 21
--------- --> Stieffel
21 m
Ca = 21 => a = 1 pues C1 = m
n n-1 n-2 12
C2 - C1 - C1 = --- = 6
--------- 2 --> Stieffel
n-1 n-2
C2 - C1 = 6
----------- --> Stieffel
n-2
C2 = 6
(n-2)(n-3) = 12
n2 - 5n + 6 = 12
n2 - 5n - 6 = 0
_______ 6
5 + \|25 + 24 5 + 7 /
n = --------------- = ------- =
2 2 \
-1
n = 6
10.- Resolver el siguiente sistema:
x x+1
4Cy = Cy+1
3x 3x
C3y+1 = C12y-1
x x+1
4Cy = Cy+1
4x! (x+1)!
------- = ---------------
y!(x-y)! (y+1)!(x+1-y-1)!
4x!(y+1)!(x-y)! = (x+1)!y!(x-y)!
4(y+1) = (x+1)
x = 4y + 4 - 1
x = 4y + 3 (1)
3x 3x
C3y+1 = C12y-1
=> Hay dos posibilidades:
3y + 1 = 12y - 1 => 9y = 2 => y = 9/2
No, pues y debe ser entero
3y + 1 + 12y - 1 = 3x => 15y = 3x => 5y = x (2)
De 1) y 2) 5y = 4y + 3
y = 3
x = 15
11.- ¿Cuántas manos diferentes le pueden tocar a un jugador de poker?
Una mano de poker es de 5 cartas y la baraja inglesa consta de 52; por ende, en cada mano se obtiene, de una en una, la muestra de 5 cartas distintas; para efectos de conteo, a esta manera de tomar la muestra se le denomina muestreo sin reemplazamiento. La primera carta puede ser cualquiera de la 52, la segunda puede ser cualquiera de las 51 restantes,..., y la quinta, que puede ser cualquiera de las 48 que quedan. El orden en el que salen las carta no importa y evidentemente no se permite la repetición; por lo tanto, son combinaciones de 52 objetos tomados de 5 en 5.
12.- . Si en el grupo 20 de “Probabilidad” hay 14 estudiantes mujeres, ¿cuántos partidos diferentes de voleibol se podrían realizar, si cada equipo es de 6 jugadoras?
El producto de estas dos combinaciones, invocando el principio fundamental del conteo, proporciona el número de partidos que pueden realizarse, pero cada uno de ellos está considerado dos veces, pues una misma sexteta puede pertenecer a ambas combinaciones; el problema se resuelve dividiendo el producto de las dos combinaciones, entre las permutaciones de los 2 equipos:
Resolución:
Cada apretón es una combinación de 2 en 2 de las 10 personas.
Resolución:
Cada triangulo se obtiene combinando 3 vértices de los 6 que tiene el hexágono.
Solución:
El orden no importa. Luego son combinaciones. Los elementos no se pueden repetir. Entonces tenemos combinaciones sin repetición, de 8 elementos tomados de 3 en tres:
16.- ¿Cuántas combinaciones se pueden hacer con dos elementos tomados del conjunto C a,b,c,d,e,f ={ }? Escribe las combinaciones posibles.
Solución:
Tenemos que hallar el número de combinaciones del conjunto de seis elementos tomados de dos en dos:
17.- Calcula el número de boletos de Lotería Primitiva que es necesario rellenar para que te toque el primer premio con toda probabilidad (Hay que acertar 6 números de un total de 49).
Solución:
Hay que calcular el número de grupos diferentes de 6 números de entre 49 diferentes. En otras palabras, tenemos que calcular las combinaciones de 49 elementos tomados de 6:
18.- En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.
19.- ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
20.- A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
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