jueves, 2 de mayo de 2013

Distribución de probabilidad



Distribución de probabilidad

Distribución aleatoria

Ejemplo de variable aleatoria

Lanzamos un dado perfecto 240 veces, anotamos el resultado obtenido en la cara superior obteniendo los siguientes resultados:

Distribución aleatoria discreta
Cara superior
1
2
3
4
5
6
Número de veces
40
39
42
38
42
39

Distribución aleatoria discreta

1.  Tabla de distribución de frecuencias 

La tabla de distribución de frecuencias muestra los resultados obtenidos


Distribución aleatoria discreta

2.  Tabla de distribución de probabilidad

La tabla de distribución de probabilidad muestra los resultados esperados

variable aleatoria

3.  Gráfica de las distribuciones 

Distribución aleatoria discreta

En la gráfica de los valores esperados, observamos que a cada valor de la variables aleatoria xi "cara del dado" le hacemos corresponder su probabilidad teórica. A esta ley se le llama distribución de probabilidad.


CALCULO DE LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR


En matemáticas y estadística una media o promedio es una medida de tendencia central que según la Real Academia Española (2001) «[…] resulta al efectuar una serie determinada de operaciones con un conjunto de números y que, en determinadas condiciones, puede representar por sí solo a todo el conjunto». Existen distintos tipos de medias, tales como la media geométrica, la media ponderada y la media armónica aunque en el lenguaje común, el término se refiere generalmente a la media aritmética.

La media estadística se usa en estadística para dos conceptos diferentes aunque numéricamente similares:
·                     La media muestral, que es un estadístico que se calcula a partir de la media aritmética de un conjunto de valores de una variable aleatoria.
·                     La media poblacional, valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria.
En la práctica dada una muestra estadística suficientemente grande el valor de la media muestral de la misma es numéricamente muy cercano a la esperanza matemática de la variable aleatoria medida en esa muestra. Dicho valor esperado, sólo es calculable si se conoce con toda exactitud la distribución de probabilidad, cosa que raramente sucede en la realidad, por esa razón, a efectos prácticos la llamada media se refiere normalmente a la media muestral.
Media muestral
La media resume en un valor las características de una constante teniendo en cuenta a todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas Media muestral: Si se tiene una muestra estadística de valores (X_1,X_2,...,X_n) de valores para una variable aleatoria X con distribución de probabilidad F(x,θ) [donde θ es un conjunto de parámetros de la distribución] se define la media muestral n-ésima como:


\bar{X}_n = T(X_1,X_2,...,X_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}

Desviación estándar

La desviación estándar o desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.

La desviación estándar se representa por σ.

de relación típicadesviación

Desviación estándar para datos agrupados

desviación típicadesviación

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

desviación típicadesviación típica

Desviación estándar para datos agrupados

desviación típicadesviación típica


PROBLEMAS:


Ejercicios resueltos de la desviación típica

1.Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:

2, 3, 6, 8, 11.

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

2, 3, 6, 8, 11.

Media

media

Desviación típica

desviación típica


12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

Media

media

Desviación típica

desviación típica

2.Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:

Meses
Niños
9
1
10
4
11
9
12
16
13
11
14
8
15
1

Calcular la desviación típica.

xi
fi
Ni
xi · fi
i · fi
9
1
1
9
81
10
4
5
40
400
11
9
14
99
1089
12
16
30
192
2304
13
11
41
143
1859
14
8
49
112
1568
15
1
50
15
225
50
610
7526

varianza

3.El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por latabla:

Sumas
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Veces
3
8
9
11
20
19
16
13
11
6
4

Calcular la desviación típica.

xi
fi
xi · fi
xi2 · fi
2
3
6
12
3
8
24
72
4
9
36
144
5
11
55
275
6
20
120
720
7
19
133
931
8
16
128
1024
9
13
117
1053
10
11
110
1100
11
6
66
726
12
4
48
576
120
843
6633

media y varianza

4.Calcular la desviación típica de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

[10, 15)
[15, 20)
[20, 25)
[25, 30)
[30, 35)
fi
3
5
7
4
2

xi
fi
xi · fi
xi2 · fi
[10, 15)
12.5
3
37.5
468.75
[15, 20)
17.5
5
87.5
1537.3
[20, 25)
22.5
7
157.5
3543.8
[25, 30)
27.5
4
110
3025
[30, 35)
32.5
2
65
2112.5
21
457.5
10681.25

Media

media

Desviación típica

varianza

5.Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:

xi
fi
xi · fi
xi2 · fi
[10, 20)
15
1
15
225
[20, 30)
25
8
200
5000
[30,40)
35
10
350
12 250
[40, 50)
45
9
405
18 225
[50, 60)
55
8
440
24 200
[60,70)
65
4
260
16 900
[70, 80)
75
2
150
11 250
42
1 820
88 050

media

desvición típica

6.Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla:

Altura
[170, 175)
[175, 180)
[180, 185)
[185, 190)
[190, 195)
[195, 2.00)
Nº de jugadores
1
3
4
8
5
2

Calcular la desviación típica

xi
fi
Fi
xi · fi
xi2 · fi
[1.70, 1.75)
1.725
1
1
1.725
2.976
[1.75, 1.80)
1.775
3
4
5.325
9.453
[1.80, 1.85)
1.825
4
8
7.3
13.324
[1.85, 1.90)
1.875
8
16
15
28.128
[1.90, 1.95)
1.925
5
21
9.625
18.53
[1.95, 2.00)
1.975
2
23
3.95
7.802
23
42.925
80.213

Media

media

Desviación típica

desviación

7.Dada la distribución estadística:

[0, 5)
[5, 10)
[10, 15)
[15, 20)
[20, 25)
[25, ∞)
fi
3
5
7
8
2
6

Calcular la desviación típica.

xi
fi
Fi
[0, 5)
2.5
3
3
[5, 10)
7.5
5
8
[10, 15)
12.5
7
15
[15, 20)
17.5
8
23
[20, 25)
22.5
2
25
[25, ∞)
6
31
31

Media

No se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.

Desviación típica

Si no hay media no es posible hallar la desviación típica.



Calcular la desviación estándar de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

media

Desviación típica

Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:

xi
fi
xi · fi
xi2 · fi
[10, 20)
15
1
15
225
[20, 30)
25
8
200
5000
[30,40)
35
10
350
12 250
[40, 50)
45
9
405
18 225
[50, 60)
55
8
440
24 200
[60,70)
65
4
260
16 900
[70, 80)
75
2
150
11 250
42
1 820
88 050

media

desvición típica

  


Los miembros de una cooperativa de viviendas tienen las siguientes edades:



42 60 60 38 60 63 21 66 56 57 51 57 44 45 35

30 35 47 53 49 50 49 38 45 28 41 47 42 53 32

54 38 40 63 48 33 35 61 47 41 55 53 27 20 21

42 21 39 39 34 45 39 28 54 33 35 43 48 48 27

53 30 29 53 38 52 54 27 27 43 28 63 41 23 58

56 59 60 40 24



Elabore una tabla de frecuencias.

Calcule la media y la desviación típica.



SOLUCIÓN:



Para elaborar una tabla de frecuencias es condición imprescindible establecer una serie de clases o categorías (intervalos) a las que vamos a adjudicar a cada uno de los ochenta miembros de la cooperativa. El investigador puede seguir diferentes criterios en función del objetivo del estudio. Una tabla de frecuencias elaborada a partir de estos datos podría ser la siguiente:



Edad               n                    

20-29              14

30-39              17

40-49                            22

50-59                            18

60-69                                9

Total               80       



Cálculo de la media:



Puede calcularse directamente sumando las edades de todos los miembros de la cooperativa y dividiendo por el total que en este caso es  ochenta, el resultado es una media de  43,29. También:



Edad
xi
ni
xini
20-29
25
14
350
30-39
35
17
595
40-49
45
22
990
50-59
55
18
990
60-69
65
9
585
Total
80
3510



http://www.uned.es/111044/examenes/EJERESUS01_archivos/image002.gif, por tanto, podemos decir que la media es de casi 44 años.

Cálculo de la desviación típica:



Edad
xi
ni
http://www.uned.es/111044/examenes/EJERESUS01_archivos/image004.gif
http://www.uned.es/111044/examenes/EJERESUS01_archivos/image006.gif http://www.uned.es/111044/examenes/EJERESUS01_archivos/image008.gif 
http://www.uned.es/111044/examenes/EJERESUS01_archivos/image010.gif
20-29
25
14
-18,875
356,2656
4987,71875
30-39
35
17
-8,875
78,7656
1339,01563
40-49
45
22
1,125
1,2656
27,84375
50-59
55
18
11,125
123,7656
2227,78125
60-69
65
9
21,125
446,2656
4016,39063
Total
80
12598,75





Sx =http://www.uned.es/111044/examenes/EJERESUS01_archivos/image012.gif

La desviación típica es de 12,5 años






Explique las similitudes y diferencias de estas distribuciones:



Edad        n_                                            Edad            n__                       

20-29      14                                             20-29          43

30-39            17                                             30-39           --

40-49      22                                              40-49           --

50-59            18                                             50-59           --

60-69        9                                             60-69          37

Total        80                                             Total          80     





SOLUCIÓN:

La media y la desviación típica de la primera distribución, ha sido calculada en el primer ejercicio.

Calculamos a continuación los mismos estadísticos para la segunda distribución.

Cálculo de la media:



Edad
xi
ni
xini
20-29
25
43
1075
30-39
35
-
40-49
45
-
50-59
55
-
60-69
65
37
2405
Total
80
3480





http://www.uned.es/111044/examenes/EJERESUS01_archivos/image016.gif



Cálculo de la desviación típica:



Edad
xi
ni
http://www.uned.es/111044/examenes/EJERESUS01_archivos/image019.gif
http://www.uned.es/111044/examenes/EJERESUS01_archivos/image020.gif http://www.uned.es/111044/examenes/EJERESUS01_archivos/image021.gif 
http://www.uned.es/111044/examenes/EJERESUS01_archivos/image022.gif
20-29
25
43
-18,875
356,2656
15319,4219
30-39
35
-
-8,875
78,7656
-
40-49
45
-
1,125
1,2656
-
50-59
55
-
11,125
123,7656
-
60-69
65
37
21,125
446.2656
16511,8281
Total
80
31831,25





http://www.uned.es/111044/examenes/EJERESUS01_archivos/image024.gif

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