Eventos dependientes e independientes

Eventos Independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A es independiente de B si y sólo si:

(PnA)=P(A)P(B)

Eventos dependientes

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P (A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

P (A|B) = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)

Probabilidad Condicional = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)

Ejemplo:

1.- Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio con P(A)=0.7; P(B)=0.6; P(

)=0.58. 

¿Son independientes A y B?

Para ver si son independientes, comprobaremos si P( A B ) = P( A ) · P( B )

P(   ) = P[(A B)^c] = 1 - P(AB)

Por tanto,  P(AB) = 1 - P(   ) = 1 -0.58 = 0.42

Por otro lado,  P( A ) · P( B ) = 0.7 · 0.6 = 0.42

Luego, A y B son independientes, pues  P( A B ) = P( A ) · P( B ) = 0.42 

2.- Si haya una probabilidad del 10% de que Júpiter se alineará con Marte, y una probabilidad del 50% de que su tirada de una moneda saldrá águilas, entonces ¿qué es la probabilidad de que Júpiter se alineará con Marte y su tirada de la moneda saldrá águilas (suponiendo que Júpiter no tenga ningún efecto en el resultado de su tirada)?

Aquí,

J: Júpiter se alineará con Marte
A: Su tirada saldrá águilas

Pues Júpiter no tiene ningún efecto en su tirada de la moneda, tomamos estes sucesos como independientes, y así la probabilidad de que ambos sucesos ocurrirán es

P(J ∩ A) = P(J)P(A) = (.10)(.50) = .05

3.-  Ud. tira un par de dados dos veces seguidas, y cada vez suma los números orientados hacia arriba.

¿Qué es la probabilidad de que salga 4 dos veces seguidas? 

Aquí está el espacio muestral con los resultados favorables mostrados en rojo:

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Por lo tanto, la probabilidad de tirar un 4 una vez es 3/36. Ahora use el hecho que el suceso de tirar un 4 la seguna vez es independiente de haberlo tirado la primera vez; es decir, si

E₁: sale 4 a la primera tirada
E₂: sale 4 a la seguna tirara

entonces E₁ y E₂ son independientes. Por lo tanto,

P(E₁ ∩ E₂) = P(E₁)P(E₂) =  

3 36

. 

3 36

 ≈ .006944

4.- Ud. tira dos dados; uno verde y uno rojo, y observa los números orientados hacia arriba. Tome A: la suma es 7, and B: el dado rojo sale par . ¿Son estos dos sucesos independientes? 

A: La suma es 7; P(A) =  

n(A) n(S)

 =  

6 36

 =  

1 6

B: El dado rojo muestra un número par; P(B) =  

n(B) n(S)

 =  

18 36

 =  

1 2

A ∩ B: La suma es 7 y el dado rojo es par; P(A ∩ B) = P(1, 6), (3, 4), (5, 2) =  

3 36

 =  

1 12

Prueba de independencia:

P(A ∩ B)	=	P(A)P(B)?
1 12	=	1 6    1 2

Por lo tanto, los sucesos son independientes.