En
matemáticas y estadística una media o promedio es una medida de tendencia
central que según la Real Academia Española (2001) «[…] resulta al efectuar una
serie determinada de operaciones con un conjunto de números y que, en
determinadas condiciones, puede representar por sí solo a todo el conjunto».
Existen distintos tipos de medias, tales como la media geométrica, la media
ponderada y la media armónica aunque en el lenguaje común, el término se
refiere generalmente a la media aritmética.
La
media estadística se usa en estadística para dos conceptos diferentes aunque
numéricamente similares:
La
media muestral, que es un estadístico que se calcula a partir de la media
aritmética de un conjunto de valores de una variable aleatoria.
La
media poblacional, valor esperado o esperanza matemática de una variable
aleatoria.
En
la práctica dada una muestra estadística suficientemente grande el valor de la
media muestral de la misma es numéricamente muy cercano a la esperanza
matemática de la variable aleatoria medida en esa muestra. Dicho valor
esperado, sólo es calculable si se conoce con toda exactitud la distribución de
probabilidad, cosa que raramente sucede en la realidad, por esa razón, a
efectos prácticos la llamada media se refiere normalmente a la media muestral.
Media
muestral
La
media resume en un valor las características de una constante teniendo en
cuenta a todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables
cuantitativas Media muestral: Si se tiene una muestra estadística de valores de valores para una variable aleatoria X con
distribución de probabilidad F(x,θ) [donde θ es un conjunto de parámetros de la
distribución] se define la media muestral n-ésima como:
Desviación
estándar
La
desviación estándar o desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
Es
decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviación.
La
desviación estándar se representa por σ.
Desviación estándar para datos agrupados
Para
simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son
equivalentes a las anteriores.
Desviación
estándar para datos agrupados
Ejercicios resueltos de la desviación
típica
1.Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de
la series de números siguientes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
2, 3, 6, 8, 11.
Media
Desviación típica
2.Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:
Meses | Niños |
9 | 1 |
10 | 4 |
11 | 9 |
12 | 16 |
13 | 11 |
14 | 8 |
15 | 1 |
Calcular la desviación típica.
xi | fi | Ni | xi · fi | x²i · fi |
9 | 1 | 1 | 9 | 81 |
10 | 4 | 5 | 40 | 400 |
11 | 9 | 14 | 99 | 1089 |
12 | 16 | 30 | 192 | 2304 |
13 | 11 | 41 | 143 | 1859 |
14 | 8 | 49 | 112 | 1568 |
15 | 1 | 50 | 15 | 225 |
50 | 610 | 7526 |
3.El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por latabla:
Sumas | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Veces | 3 | 8 | 9 | 11 | 20 | 19 | 16 | 13 | 11 | 6 | 4 |
Calcular la desviación típica.
xi | fi | xi · fi | xi2 · fi |
2 | 3 | 6 | 12 |
3 | 8 | 24 | 72 |
4 | 9 | 36 | 144 |
5 | 11 | 55 | 275 |
6 | 20 | 120 | 720 |
7 | 19 | 133 | 931 |
8 | 16 | 128 | 1024 |
9 | 13 | 117 | 1053 |
10 | 11 | 110 | 1100 |
11 | 6 | 66 | 726 |
12 | 4 | 48 | 576 |
120 | 843 | 6633 |
4.Calcular la desviación típica de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
[10, 15) | [15, 20) | [20, 25) | [25, 30) | [30, 35) | |
fi | 3 | 5 | 7 | 4 | 2 |
xi | fi | xi · fi | xi2 · fi | |
[10, 15) | 12.5 | 3 | 37.5 | 468.75 |
[15, 20) | 17.5 | 5 | 87.5 | 1537.3 |
[20, 25) | 22.5 | 7 | 157.5 | 3543.8 |
[25, 30) | 27.5 | 4 | 110 | 3025 |
[30, 35) | 32.5 | 2 | 65 | 2112.5 |
21 | 457.5 | 10681.25 |
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