Distribución de probabilidad
Ejemplo de variable aleatoria
Lanzamos un dado perfecto 240 veces, anotamos el resultado obtenido en la cara
superior obteniendo los siguientes resultados:
|
Distribución aleatoria discreta
|
|
Cara superior
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
Número de veces
|
40
|
39
|
42
|
38
|
42
|
39
|
1. Tabla de distribución de frecuencias
La tabla de distribución de frecuencias muestra los resultados obtenidos
2. Tabla de distribución de probabilidad
La tabla de distribución de probabilidad muestra los resultados esperados
3. Gráfica de las distribuciones
En la gráfica de los valores esperados, observamos que a cada valor de la
variables aleatoria xi "cara del dado" le hacemos corresponder su
probabilidad teórica. A esta ley se le llama distribución de probabilidad.
CALCULO DE LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR
En
matemáticas y estadística una media o promedio es una medida de tendencia
central que según la Real Academia Española (2001) «[…] resulta al efectuar una
serie determinada de operaciones con un conjunto de números y que, en
determinadas condiciones, puede representar por sí solo a todo el conjunto».
Existen distintos tipos de medias, tales como la media geométrica, la media
ponderada y la media armónica aunque en el lenguaje común, el término se
refiere generalmente a la media aritmética.
La media estadística se usa en estadística para dos conceptos
diferentes aunque numéricamente similares:
·
La media muestral, que es
un estadístico que se calcula a partir de la media aritmética de un conjunto de
valores de una variable aleatoria.
·
La media poblacional, valor
esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria.
En la
práctica dada una muestra estadística suficientemente grande el valor de la
media muestral de la misma es numéricamente muy cercano a la esperanza
matemática de la variable aleatoria medida en esa muestra. Dicho valor
esperado, sólo es calculable si se conoce con toda exactitud la distribución de
probabilidad, cosa que raramente sucede en la realidad, por esa razón, a
efectos prácticos la llamada media se refiere normalmente a la media muestral.
Media muestral
La media resume en un valor las características de una constante
teniendo en cuenta a todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables
cuantitativas Media muestral: Si se tiene una muestra
estadística de valores 
de
valores para una variable aleatoria X con distribución de
probabilidad F(x,θ) [donde θ es un conjunto de parámetros de
la distribución] se define la media muestral n-ésima como:
Desviación estándar
La desviación estándar o desviación típica es la raíz
cuadrada de la varianza.
Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las
puntuaciones de desviación.
La desviación estándar se representa por σ.
Desviación estándar para datos agrupados
Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones
que son equivalentes a las anteriores.
Desviación estándar para datos agrupados
PROBLEMAS:
Ejercicios resueltos de la desviación
típica
1.Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de
la series de números siguientes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
2, 3, 6, 8, 11.
Media
Desviación típica
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
Media
Desviación típica
2.Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50
niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:
|
Meses
|
Niños
|
|
9
|
1
|
|
10
|
4
|
|
11
|
9
|
|
12
|
16
|
|
13
|
11
|
|
14
|
8
|
|
15
|
1
|
Calcular la desviación típica.
|
xi
|
fi
|
Ni
|
xi · fi
|
x²i · fi
|
|
9
|
1
|
1
|
9
|
81
|
|
10
|
4
|
5
|
40
|
400
|
|
11
|
9
|
14
|
99
|
1089
|
|
12
|
16
|
30
|
192
|
2304
|
|
13
|
11
|
41
|
143
|
1859
|
|
14
|
8
|
49
|
112
|
1568
|
|
15
|
1
|
50
|
15
|
225
|
|
50
|
|
610
|
7526
|
3.El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por latabla:
|
Sumas
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
|
Veces
|
3
|
8
|
9
|
11
|
20
|
19
|
16
|
13
|
11
|
6
|
4
|
Calcular la desviación típica.
|
xi
|
fi
|
xi · fi
|
xi2 · fi
|
|
2
|
3
|
6
|
12
|
|
3
|
8
|
24
|
72
|
|
4
|
9
|
36
|
144
|
|
5
|
11
|
55
|
275
|
|
6
|
20
|
120
|
720
|
|
7
|
19
|
133
|
931
|
|
8
|
16
|
128
|
1024
|
|
9
|
13
|
117
|
1053
|
|
10
|
11
|
110
|
1100
|
|
11
|
6
|
66
|
726
|
|
12
|
4
|
48
|
576
|
|
120
|
843
|
6633
|
4.Calcular la desviación típica de una distribución
estadística que viene dada por la siguiente tabla:
|
[10, 15)
|
[15, 20)
|
[20, 25)
|
[25, 30)
|
[30, 35)
|
|
fi
|
3
|
5
|
7
|
4
|
2
|
|
xi
|
fi
|
xi · fi
|
xi2 · fi
|
|
[10, 15)
|
12.5
|
3
|
37.5
|
468.75
|
|
[15, 20)
|
17.5
|
5
|
87.5
|
1537.3
|
|
[20, 25)
|
22.5
|
7
|
157.5
|
3543.8
|
|
[25, 30)
|
27.5
|
4
|
110
|
3025
|
|
[30, 35)
|
32.5
|
2
|
65
|
2112.5
|
|
|
21
|
457.5
|
10681.25
|
Media
Desviación típica
5.Calcular la desviación típica de
la distribución de la tabla:
|
xi
|
fi
|
xi · fi
|
xi2 · fi
|
|
[10, 20)
|
15
|
1
|
15
|
225
|
|
[20, 30)
|
25
|
8
|
200
|
5000
|
|
[30,40)
|
35
|
10
|
350
|
12 250
|
|
[40, 50)
|
45
|
9
|
405
|
18 225
|
|
[50, 60)
|
55
|
8
|
440
|
24 200
|
|
[60,70)
|
65
|
4
|
260
|
16 900
|
|
[70, 80)
|
75
|
2
|
150
|
11 250
|
|
|
42
|
1 820
|
88 050
|
6.Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas
por la tabla:
|
Altura
|
[170, 175)
|
[175, 180)
|
[180, 185)
|
[185, 190)
|
[190, 195)
|
[195, 2.00)
|
|
Nº de jugadores
|
1
|
3
|
4
|
8
|
5
|
2
|
Calcular la desviación típica
|
xi
|
fi
|
Fi
|
xi · fi
|
xi2 · fi
|
|
[1.70, 1.75)
|
1.725
|
1
|
1
|
1.725
|
2.976
|
|
[1.75, 1.80)
|
1.775
|
3
|
4
|
5.325
|
9.453
|
|
[1.80, 1.85)
|
1.825
|
4
|
8
|
7.3
|
13.324
|
|
[1.85, 1.90)
|
1.875
|
8
|
16
|
15
|
28.128
|
|
[1.90, 1.95)
|
1.925
|
5
|
21
|
9.625
|
18.53
|
|
[1.95, 2.00)
|
1.975
|
2
|
23
|
3.95
|
7.802
|
|
|
23
|
|
42.925
|
80.213
|
Media
Desviación típica
7.Dada la distribución estadística:
|
[0, 5)
|
[5, 10)
|
[10, 15)
|
[15, 20)
|
[20, 25)
|
[25, ∞)
|
|
fi
|
3
|
5
|
7
|
8
|
2
|
6
|
Calcular la desviación típica.
|
xi
|
fi
|
Fi
|
|
[0, 5)
|
2.5
|
3
|
3
|
|
[5, 10)
|
7.5
|
5
|
8
|
|
[10, 15)
|
12.5
|
7
|
15
|
|
[15, 20)
|
17.5
|
8
|
23
|
|
[20, 25)
|
22.5
|
2
|
25
|
|
[25, ∞)
|
|
6
|
31
|
|
|
31
|
|
Media
No se puede calcular la media,
porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.
Desviación típica
Si no hay media no es
posible hallar la desviación típica.
Calcular la desviación estándar de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Calcular la desviación típica de
la distribución de la tabla:
|
xi
|
fi
|
xi · fi
|
xi2 · fi
|
|
[10, 20)
|
15
|
1
|
15
|
225
|
|
[20, 30)
|
25
|
8
|
200
|
5000
|
|
[30,40)
|
35
|
10
|
350
|
12 250
|
|
[40, 50)
|
45
|
9
|
405
|
18 225
|
|
[50, 60)
|
55
|
8
|
440
|
24 200
|
|
[60,70)
|
65
|
4
|
260
|
16 900
|
|
[70, 80)
|
75
|
2
|
150
|
11 250
|
|
|
42
|
1 820
|
88 050
|
Los miembros de una cooperativa de viviendas tienen las siguientes
edades:
42 60 60 38 60 63 21 66 56 57 51 57 44 45 35
30 35 47 53 49 50 49 38 45 28 41 47 42 53 32
54 38 40 63 48 33 35 61 47 41 55 53 27 20 21
42 21 39 39 34 45 39 28 54 33 35 43 48 48 27
53 30 29 53 38 52 54 27 27 43 28 63 41 23 58
56 59 60 40 24
Elabore una tabla de frecuencias.
Calcule la media y la desviación típica.
SOLUCIÓN:
Para elaborar una tabla de frecuencias es condición imprescindible
establecer una serie de clases o categorías (intervalos) a las que vamos a
adjudicar a cada uno de los ochenta miembros de la cooperativa. El investigador
puede seguir diferentes criterios en función del objetivo del estudio. Una
tabla de frecuencias elaborada a partir de estos datos podría ser la siguiente:
Edad
n
20-29
14
30-39
17
40-49 22
50-59 18
60-69 9
Total
80
Cálculo de la media:
Puede calcularse directamente sumando las edades de todos los miembros
de la cooperativa y dividiendo por el total que en este caso es ochenta,
el resultado es una media de 43,29. También:
|
Edad
|
xi
|
ni
|
xini
|
|
20-29
|
25
|
14
|
350
|
|
30-39
|
35
|
17
|
595
|
|
40-49
|
45
|
22
|
990
|
|
50-59
|
55
|
18
|
990
|
|
60-69
|
65
|
9
|
585
|
|
Total
|
|
80
|
3510
|
, por
tanto, podemos decir que la media es de casi 44 años.
Cálculo de la desviación típica:
|
Edad
|
xi
|
ni
|
|
|
|
|
20-29
|
25
|
14
|
-18,875
|
356,2656
|
4987,71875
|
|
30-39
|
35
|
17
|
-8,875
|
78,7656
|
1339,01563
|
|
40-49
|
45
|
22
|
1,125
|
1,2656
|
27,84375
|
|
50-59
|
55
|
18
|
11,125
|
123,7656
|
2227,78125
|
|
60-69
|
65
|
9
|
21,125
|
446,2656
|
4016,39063
|
|
Total
|
|
80
|
|
|
12598,75
|
Sx =
La desviación típica es de 12,5 años
Explique las similitudes y diferencias de estas distribuciones:
Edad n_ Edad
n__
20-29
14
20-29 43
30-39 17
30-39 --
40-49 22
40-49 --
50-59 18
50-59 --
60-69
9
60-69
37
Total 80
Total
80
SOLUCIÓN:
La media y la desviación típica de la primera distribución, ha sido
calculada en el primer ejercicio.
Calculamos a continuación los mismos estadísticos para la segunda
distribución.
Cálculo de la media:
|
Edad
|
xi
|
ni
|
xini
|
|
20-29
|
25
|
43
|
1075
|
|
30-39
|
35
|
-
|
|
|
40-49
|
45
|
-
|
|
|
50-59
|
55
|
-
|
|
|
60-69
|
65
|
37
|
2405
|
|
Total
|
|
80
|
3480
|
Cálculo de la desviación típica:
|
Edad
|
xi
|
ni
|
|
|
|
|
20-29
|
25
|
43
|
-18,875
|
356,2656
|
15319,4219
|
|
30-39
|
35
|
-
|
-8,875
|
78,7656
|
-
|
|
40-49
|
45
|
-
|
1,125
|
1,2656
|
-
|
|
50-59
|
55
|
-
|
11,125
|
123,7656
|
-
|
|
60-69
|
65
|
37
|
21,125
|
446.2656
|
16511,8281
|
|
Total
|
|
80
|
|
|
31831,25
|
